1 Constante d'Apéry[modifier le wikicode]

La constante d'Apéry est un nombre irrationnel célèbre en mathématiques, notamment en théorie des nombres et en analyse. Elle est définie comme la valeur particulière de la fonction zêta de Riemann en 3, soit ζ(3). Cette constante porte le nom du mathématicien français Roger Apéry, qui a démontré l’irrationalité de ζ(3) en 1979, une avancée majeure dans le domaine.

1.1 Définition mathématique et formulation précise[modifier le wikicode]

La constante d'Apéry est définie par la somme infinie :

$ζ (3) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{3}} = 1 + \frac{1}{8} + \frac{1}{27} + \frac{1}{64} + \dots$

Elle correspond à la fonction zêta de Riemann ζ(s) évaluée en $s = 3$ , c’est-à-dire à la somme des inverses des cubes des entiers naturels.

1.2 Propriétés fondamentales de la constante d'Apéry[modifier le wikicode]

Irrationalité : En 1979, Roger Apéry a prouvé que ζ(3) est un nombre irrationnel, ce qui signifie qu’il ne peut pas être écrit comme un rapport de deux entiers.

Valeur approximative : La constante d'Apéry est approximativement égale à 1,202056903159594285399738164... – une valeur transcendante pour les calculatrices mais fascinante pour les mathématiciens.

Lien avec les séries et intégrales : Nombreuses séries et intégrales expriment ζ(3), ce qui en fait un objet d’étude privilégié en analyse.

1.3 Importance en théorie des nombres et en physique théorique[modifier le wikicode]

La constante d’Apéry intervient dans plusieurs domaines :

Théorie des nombres : Étude des propriétés des nombres transcendants, des séries de Dirichlet et des fonctions L.

Physique théorique : Apparition dans les calculs de volumes en géométrie hyperbolique, la théorie quantique des champs, ainsi que dans les séries de perturbations en mécanique quantique.

Mathématiques appliquées : Utilisée dans certains algorithmes de calcul numérique et en analyse combinatoire.

1.4 Démonstration historique de l’irrationalité par Roger Apéry[modifier le wikicode]

En 1979, Roger Apéry a fait sensation en prouvant de manière inattendue que ζ(3) est irrationnel. Sa méthode reposait sur une construction spécifique de suites rationnelles convergeant vers ζ(3) et une analyse fine de leur comportement. Cette preuve, initialement jugée mystérieuse, a été clarifiée et étendue par la suite.

1.5 Représentations et expressions connexes pour ζ(3)[modifier le wikicode]

Plusieurs représentations alternatives aident à mieux comprendre la constante :

Séries alternatives :

$ζ (3) = \frac{5}{2} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{n - 1}}{n^{3} (\binom{2 n}{n})}$

Intégrales :

$ζ (3) = \int_{0}^{1} \frac{- \ln (x) \ln (1 - x)}{x} d x$

Ces formulations ouvrent des perspectives pour des calculs plus efficaces et des généralisations.

1.6 Applications pratiques et présence dans la culture mathématique[modifier le wikicode]

La constante d’Apéry est régulièrement citée dans les ouvrages scientifiques traitant des séries et fonctions spéciales. Plusieurs problèmes ouverts liés à la nature entière ou transcendante des constantes ζ(2n+1) rappellent son importance. Elle apparaît aussi parfois dans des énigmes mathématiques populaires, témoignant de sa notoriété.

1.7 Notes et références[modifier le wikicode]

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1.8 Voir aussi[modifier le wikicode]

1.9 Liens externes[modifier le wikicode]