1 Théorie des perturbations[modifier]
La théorie des perturbations est une méthode mathématique utilisée principalement en physique et en chimie pour étudier les systèmes complexes en partant d'un système simple dont la solution exacte est connue, puis en ajoutant une perturbation considérée comme petite. Cette approche permet d'obtenir une approximation des solutions lorsque le problème complet est trop compliqué pour être résolu directement.
2 Principe général[modifier]
Le principe fondamental de la théorie des perturbations repose sur l’idée suivante :
- On commence par un système de référence simple, décrit par un Hamiltonien non perturbé \( H_0 \), dont les solutions exactes (valeurs propres et vecteurs propres) sont connues.
- On ajoute une petite perturbation \( V \), ce qui modifie le système : l’Hamiltonien devient \( H = H_0 + \lambda V \), où \(\lambda\) est un petit paramètre sans dimension, servant à formaliser la notion de « petite perturbation ».
- Les grandeurs d’intérêt (énergies, états, etc.) sont alors développées en série en puissances de \(\lambda\), permettant d’obtenir des corrections successives :
\[
E_n = E_n^{(0)} + \lambda E_n^{(1)} + \lambda^2 E_n^{(2)} + \cdots
\]
\[
|n\rangle = |n^{(0)}\rangle + \lambda |n^{(1)}\rangle + \lambda^2 |n^{(2)}\rangle + \cdots
\]
Cette expansion permet d’étudier comment le système réagit à des modifications faibles sans résoudre un problème complètement nouveau.
3 Applications[modifier]
3.1 En mécanique quantique[modifier]
La théorie des perturbations est largement utilisée en mécanique quantique pour calculer les énergies corrigées des niveaux d’un atome, d’une molécule ou d’autres systèmes quantiques :
- Ajustement des niveaux d’énergie dans l’atome d’hydrogène en présence d’un champ magnétique externe (effet Zeeman).
- Calcul des corrections dues à l’interaction spin-orbite.
- Étude des transitions optiques et spectres d’absorption.
3.2 En mécanique classique[modifier]
Elle sert également à analyser les systèmes dynamiques non linéaires où une solution analytique exacte est impossible, par exemple :
- Mouvement des planètes avec interactions gravitationnelles faibles supplémentaires (orbites perturbées).
- Étude des oscillations amorties avec forces extérieures faibles.
3.3 En chimie quantique[modifier]
Dans la chimie quantique, la théorie des perturbations permet d’améliorer les calculs approximatifs des orbitales moléculaires dans des situations complexes, comme :
- La méthode de Møller–Plesset (MP2, MP3, etc.) pour prendre en compte la corrélation électronique.
- Estimation des propriétés moléculaires en présence d’interactions faibles.
4 Limites et extensions[modifier]
La théorie des perturbations est efficace lorsque la perturbation reste « petite ». Si elle est trop forte, la série peut diverger ou ne pas converger vers la bonne solution. Dans ces cas, d’autres méthodes sont préférables, comme :
- La théorie variationnelle.
- Les simulations numériques (par exemple la méthode de Monte-Carlo).
- Les approches non perturbatives.
Des extensions complexes existent aussi, comme la théorie des perturbations dégénérées qui traite les cas où plusieurs états non perturbés ont la même énergie.
5 Anecdote amusante[modifier]
Saviez-vous que la théorie des perturbations est un peu comme essayer de corriger un gâteau raté en ajoutant juste une pincée de sucre supplémentaire ? Parfois ça marche, parfois... mieux vaut refaire la recette ! 😄