1 Quadrupôle électrostatique[modifier]

Un quadrupôle électrostatique est une distribution particulière de charges électriques qui produit un champ électrique caractérisé par un ordre multipolaire supérieur, situé juste après le dipôle. Ce concept est fondamental en physique, en chimie et en génie électrique pour comprendre les interactions complexes entre charges et champs électriques.

1.1 Introduction au quadrupôle électrostatique[modifier]

L’étude des multipôles électrostatiques est une méthode puissante pour représenter des distributions de charges. Après la charge ponctuelle (monopôle) et le dipôle, le quadrupôle constitue le troisième terme dans la série de multipôles. Un quadrupôle électrostatique est souvent utilisé pour décrire des systèmes où la somme des charges nettes est nulle, de même que le moment dipolaire, mais où il subsiste une certaine asymétrie dans la distribution de charges, donnant naissance au moment quadrupolaire.

1.2 Définition précise : Qu’est-ce qu’un quadrupôle électrostatique ?[modifier]

Un quadrupôle électrostatique est constitué de plusieurs charges ponctuelles arrangées de manière telle que la distribution satisfasse les conditions suivantes :

La charge totale est nulle : Σq_i = 0
Le moment dipolaire est nul : $\vec{p} = \sum q_i \vec{r}_i = 0$
Le premier moment non nul est le moment quadrupolaire.

Le moment quadrupolaire est généralement représenté par un tenseur symétrique d’ordre 2, noté $Q_{ij}$, défini par :

$Q_{i j} = \sum_{k} q_{k} (3 r_{k, i} r_{k, j} - r_{k}^{2} δ_{i j})$

où $q_k$ est la charge du point $k$, $r_{k,i}$ la coordonnée $i$-ème de sa position, $r_k^2$ le carré de sa distance à l’origine, et $\delta_{ij}$ le symbole de Kronecker.

1.3 Importance et applications du moment quadrupolaire[modifier]

Le moment quadrupolaire joue un rôle clé dans plusieurs domaines :

Physique atomique et moléculaire: La description des interactions entre molécules polaires et apolaires, en particulier dans les calculs de potentiels de Van der Waals.
Spectroscopie: Influences sur les transitions optiques et magnétiques, par exemple dans la RMN nucléaire et la spectroscopie Mössbauer.
Physique des particules: Analyse des distributions de charges dans les noyaux atomiques.
'Génie électrique: Utilisation dans les filtres quadrupolaires pour le contrôle précis de particules chargées dans les accélérateurs.

Champ électrique d’un quadrupôle

Champ électrique typique créé par un quadrupôle électrostatique

1.4 Comment créer un quadrupôle électrostatique ? Disposition des charges[modifier]

Un exemple classique est la configuration de quatre charges ponctuelles égales en valeur absolue, alternant les signes, positionnées symétriquement aux sommets d’un carré. Cette disposition satisfait les conditions nécessaires à la formation d’un quadrupôle :

Charges +q aux sommets A et C
Charges −q aux sommets B et D

{\displaystyle \begin{cases} A = (+q, x=a, y=a) \\ B = (-q, x=-a, y=a) \\ C = (+q, x=-a, y=-a) \\ D = (-q, x=a, y=-a) \\ \end{cases} }

Ici, $'a'$ est la distance entre l’origine et chaque charge sur les axes cartésiens. Ce montage annule la charge totale et le moment dipolaire, laissant un moment quadrupolaire non nul.

1.5 Formules clés liées au quadrupôle électrostatique[modifier]

1.5.1 Potentiel électrique créé par un quadrupôle[modifier]

A une distance $r$ grande par rapport à la taille du quadrupôle, le potentiel électrique $V$ s’écrit approximativement :

$V (\vec{r}) = \frac{1}{4 π ε_{0}} \frac{1}{2 r^{3}} \sum_{i, j} Q_{i j} \frac{x_{i} x_{j}}{r^{2}}$

où $\varepsilon_0$ est la permittivité du vide et $x_i$ les composantes du vecteur position.

1.5.2 Champ électrique quadrupolaire[modifier]

Le champ électrique $\vec{E}$ est la dérivée spatiale du potentiel $\vec{E} = -\nabla V$, ce qui induit une décroissance en $1/r^4$ pour la composante quadrupolaire, plus rapide que pour le dipôle ($1/r^3$).

1.6 Différences avec dipôle et monopôle[modifier]

Caractéristique	Monopôle	Dipôle	Quadrupôle
Charge totale	Non nulle	Nulle	Nulle
Moment dipolaire	Non défini (ou nul si monopôle ponctuel)	Non nul	Nul
Moment quadrupolaire	Nul	Généralement nul	Non nul
Potentiel à longue distance	$\propto 1/r$	$\propto 1/r^2$	$\propto 1/r^3$
Champ électrique	$\propto 1/r^2$	$\propto 1/r^3$	$\propto 1/r^4$

1.7 Ressources et lectures complémentaires[modifier]

Multipôles électriques — Wikipédia
Jackson, John David. "Classical Electrodynamics." Wiley, 1998.
Griffiths, David J. "Introduction to Electrodynamics." Pearson, 2017.

1.8 Notes et références[modifier]